Black-Litterman模型

Black-Litterman模型是由Fischer Black和Robert Litterman在1990年代初期为高盛开发的投资组合理论模型,被视为Markowitz均值-方差模型的贝叶斯扩展版本。

核心思想

Black-Litterman模型试图解决Markowitz模型在实际应用中面临的两个主要问题:

  1. 对预期收益率估计的高度敏感性
  2. 优化结果常导致极端权重配置

它通过结合市场均衡隐含的收益率与投资者自身的主观观点,形成更为合理、稳定的预期收益率估计。

模型框架

Black-Litterman模型包含两个关键要素:

  • 均衡隐含收益:从当前市场权重推导的隐含预期收益率(先验分布)
  • 投资者观点:投资者对未来收益的主观判断(条件分布)

通过贝叶斯方法将两者结合,生成调整后的预期收益率(后验分布)。

数学表达

基本公式

E[R] = [(τΣ)^(-1) + P'Ω^(-1)P]^(-1)[(τΣ)^(-1)Π + P'Ω^(-1)Q]

其中:

  • E[R] - 调整后的预期收益率
  • τ - 不确定性缩放因子(通常为小数值)
  • Σ - 协方差矩阵
  • Π - 均衡隐含收益率
  • P - 观点矩阵(表示哪些资产受到观点影响)
  • Ω - 观点不确定性矩阵
  • Q - 观点预期收益率

均衡隐含收益率计算

基于CAPM模型的逆优化过程:

Π = λΣw_{mkt}

其中:

  • λ - 风险厌恶系数
  • w_{mkt} - 市场资产权重

观点表达方式

Black-Litterman模型支持两种类型的观点表达:

  1. 绝对观点:对单一资产预期收益的直接估计 例如:“资产A预期收益率为8%”

  2. 相对观点:对资产间预期收益差异的估计 例如:“资产A将比资产B表现好2%“

实施步骤

  1. 获取市场数据:收集市场权重和资产协方差矩阵
  2. 计算隐含收益:基于当前市场权重和协方差反推隐含收益率
  3. 形成主观观点:确定投资者对特定资产或资产组合的观点
  4. 确定不确定性:设置观点的置信度和总体模型不确定性
  5. 计算后验收益:合并隐含收益和主观观点
  6. 优化组合:基于调整后的预期收益率优化投资组合权重

Python实现示例

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import minimize
 
# 假设已有市场权重和协方差矩阵
market_weights = np.array([0.3, 0.4, 0.3])  # 市场权重
cov_matrix = np.array([
    [0.10, 0.03, 0.02],
    [0.03, 0.08, 0.01],
    [0.02, 0.01, 0.06]
])  # 协方差矩阵
 
# 1. 计算隐含均衡收益率
risk_aversion = 2.5  # 风险厌恶系数
implied_returns = risk_aversion * np.dot(cov_matrix, market_weights)
 
# 2. 定义投资者观点
# 观点1:资产1的绝对收益为5%
# 观点2:资产2的收益将比资产3高2%
P = np.array([
    [1, 0, 0],     # 观点1影响矩阵
    [0, 1, -1]     # 观点2影响矩阵
])
Q = np.array([0.05, 0.02])  # 观点预期收益
 
# 3. 设置观点不确定性
omega = np.diag([0.01, 0.005])  # 观点的不确定性
 
# 4. 设置模型不确定性缩放因子
tau = 0.025
 
# 5. 计算调整后的预期收益率
temp1 = np.linalg.inv(tau * cov_matrix)
temp2 = np.dot(np.dot(P, np.linalg.inv(omega)), P.T)
temp3 = np.dot(temp1, implied_returns)
temp4 = np.dot(np.dot(P.T, np.linalg.inv(omega)), Q)
 
combined_return = np.dot(np.linalg.inv(temp1 + temp2), (temp3 + temp4))
 
# 6. 使用调整后收益率进行组合优化
# ...类似于Markowitz模型的优化步骤

优势与局限

优势

  1. 减少对输入参数的敏感性
  2. 允许将主观判断以结构化方式纳入模型
  3. 解决Markowitz模型中的极端权重问题
  4. 更直观的参数调整方式

局限

  1. 参数设置(特别是τ和Ω)仍有主观性
  2. 需要准确的市场均衡权重
  3. 观点表达方式可能受限
  4. 对市场有效的假设仍然存在

与其他模型的关系